Chắc hẳn các em đã quá quen thuộc với việc tìm tọa độ của một điểm trên mặt phẳng hay trong không gian rồi phải không nào? Nhưng các em đã bao giờ tự hỏi làm thế nào để tìm tọa độ của một đường thẳng, hay cụ thể hơn là phương của nó trong không gian ba chiều chưa?
Câu trả lời nằm ở vector pháp tuyến. Vậy vector pháp tuyến là gì? Làm thế nào để xác định tọa độ của nó? Và ứng dụng của nó trong hình học không gian ra sao? Hãy cùng thầy cô tìm hiểu trong bài viết này nhé!
Vector Pháp tuyến là gì? Vai trò của nó trong hình học?
Trước khi đi vào chi tiết về tọa độ vector pháp tuyến, chúng ta cần hiểu rõ vector pháp tuyến là gì và ý nghĩa của nó trong không gian.
Vector pháp tuyến của một mặt phẳng là một vector có hướng vuông góc với mặt phẳng đó.
Hãy tưởng tượng mặt phẳng như một tờ giấy, và vector pháp tuyến giống như một cây bút chì được cắm thẳng đứng trên tờ giấy đó.
Vector pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc xác định phương của mặt phẳng trong không gian. Nó cũng được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán hình học không gian, ví dụ như:
- Xác định phương trình của mặt phẳng: Biết tọa độ vector pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng, ta có thể dễ dàng viết được phương trình của mặt phẳng đó.
- Tính góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cách Xác định Tọa độ Vector Pháp tuyến
Vậy làm thế nào để tìm tọa độ của vector pháp tuyến? Có nhiều cách để xác định tọa độ này, tùy thuộc vào dữ kiện bài toán cho trước. Dưới đây là một số cách phổ biến:
1. Từ Phương trình Mặt phẳng:
Nếu biết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, thì vector pháp tuyến của (P) có tọa độ là (A, B, C).
Ví dụ: Mặt phẳng (P): 2x – 3y + z + 5 = 0 có vector pháp tuyến là (2, -3, 1).
2. Từ Tọa độ Ba Điểm Không Thẳng hàng:
Nếu biết tọa độ ba điểm A, B, C không thẳng hàng thuộc mặt phẳng, ta có thể tìm tọa độ vector pháp tuyến bằng cách tính tích có hướng của hai vector AB→ và AC→.
Công thức: n→ = AB→ x AC→
Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3). Ta có:
AB→ = (-1, 2, 0) và AC→ = (-1, 0, 3)
n→ = AB→ x AC→ = (6, 3, 2) là vector pháp tuyến của (P).
3. Từ Hai Vector chỉ phương:
Nếu biết hai vector u→ và v→ không cùng phương nằm trên mặt phẳng, ta cũng có thể tìm tọa độ vector pháp tuyến bằng cách tính tích có hướng của hai vector u→ và v→.
Công thức: n→ = u→ x v→
Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) chứa hai vector u→ = (1, 2, 1) và v→ = (0, 1, -1). Ta có:
n→ = u→ x v→ = (-3, 1, 1) là vector pháp tuyến của (P).
Ứng dụng của Tọa độ Vector Pháp tuyến trong giải bài tập
Sau khi đã nắm vững cách xác định tọa độ vector pháp tuyến, chúng ta có thể vận dụng nó để giải quyết nhiều bài toán hình học không gian khác nhau. Dưới đây là một số ví dụ:
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vector pháp tuyến n→ = (2, -1, 4).
Lời giải:
Ta có phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2(x – 1) – (y – 2) + 4(z – 3) = 0
Hay 2x – y + 4z – 12 = 0.
Bài toán 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x – y + z – 2 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Lời giải:
Vector pháp tuyến của (P) là n→ = (1, 2, -1) và vector pháp tuyến của (Q) là n’→ = (2, -1, 1).
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có:
cosα = |n→.n’→| / (|n→|.|n’→|) = |1.2 + 2.(-1) + (-1).1| / (√(1² + 2² + (-1)²).√(2² + (-1)² + 1²)) = 1/6
Suy ra α ≈ 80.41°.
Bài toán 3: Cho điểm M(2, 1, -3) và mặt phẳng (P): x – 2y + z + 4 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Lời giải:
Vector pháp tuyến của (P) là n→ = (1, -2, 1).
Lấy điểm A(0, 0, -4) thuộc (P). Ta có AM→ = (2, 1, 1).
Khoảng cách từ M đến (P) được tính bằng:
d(M, (P)) = |AM→.n→| / |n→| = |2.1 + 1.(-2) + 1.1| / √(1² + (-2)² + 1²) = 1/√6.
Kết luận
Như vậy, tọa độ vector pháp tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, giúp chúng ta xác định phương của mặt phẳng và giải quyết nhiều bài toán liên quan. Qua bài viết này, hy vọng các em đã nắm vững kiến thức về tọa độ vector pháp tuyến và có thể tự tin áp dụng vào giải các bài tập.
Các em hãy thử áp dụng những gì đã học vào một số bài tập khác và đừng quên chia sẻ những thắc mắc của mình ở phần bình luận bên dưới nhé!