“Thầy ơi, giải phương trình vi phân nghe phức tạp quá!” – Bạn nào đó trong số các em học sinh thân yêu của thầy có lẽ đang thốt lên như vậy. Đừng lo lắng, thầy hiểu mà! Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thực ra không hề khó như các em nghĩ đâu. Hãy cùng thầy khám phá chủ đề thú vị này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé!
I. Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1 là gì?
Trước khi bắt tay vào giải, chúng ta cần hiểu rõ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là gì đã, phải không nào?
Nói một cách đơn giản, đây là loại phương trình có dạng:
y’ + p(x)y = q(x)
Trong đó:
- y là hàm số cần tìm, phụ thuộc vào biến x.
- p(x) và q(x) là các hàm số đã biết, có thể là hàm hằng hoặc hàm theo biến x.
- y’ chính là đạo hàm bậc nhất của y theo x.
II. Các Bước Giải Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1
Giờ thì chúng ta đã biết mặt “anh bạn” này rồi, hãy cùng thầy tìm hiểu cách “thu phục” nó qua các bước giải chi tiết sau:
1. Tìm Nhân Tử Tích Phân
Nhân tử tích phân là một hàm số đặc biệt giúp chúng ta biến đổi phương trình vi phân ban đầu thành dạng dễ giải hơn. Để tìm nhân tử tích phân, ta làm như sau:
- Bước 1: Xác định hàm số p(x) trong phương trình.
- Bước 2: Tính tích phân của p(x): ∫p(x)dx
- Bước 3: Nhân tử tích phân sẽ là e^(∫p(x)dx)
2. Nhân Cả Hai Vế Với Nhân Tử Tích Phân
Sau khi đã tìm được nhân tử tích phân, ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình vi phân ban đầu với nó. Bước này giúp chúng ta biến đổi vế trái của phương trình thành đạo hàm của một tích.
Cụ thể, phương trình sẽ có dạng:
(e^(∫p(x)dx) y)’ = q(x) e^(∫p(x)dx)
3. Lấy Nguyên Hàm Hai Vế
Đến đây, công việc của chúng ta trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Ta chỉ cần lấy nguyên hàm hai vế của phương trình đã được biến đổi:
∫(e^(∫p(x)dx) y)’ dx = ∫(q(x) e^(∫p(x)dx)) dx
Vế trái của phương trình sau khi lấy nguyên hàm sẽ trở thành:
*(e^(∫p(x)dx) y)**
4. Tìm Hàm Số y
Bước cuối cùng là giải phương trình tìm y. Ta thực hiện bằng cách chia cả hai vế cho nhân tử tích phân đã nhân ở bước 2:
y = (1/e^(∫p(x)dx)) ∫(q(x) e^(∫p(x)dx)) dx + C
Trong đó, C là hằng số tích phân.
III. Ví Dụ Minh Họa
Để các em hình dung rõ hơn, thầy sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể nhé!
Giải phương trình vi phân: y’ + 2xy = x
Bước 1: Tìm nhân tử tích phân:
- p(x) = 2x
- ∫p(x)dx = ∫2x dx = x²
- Nhân tử tích phân: e^(x²)
Bước 2: Nhân cả hai vế với nhân tử tích phân:
(e^(x²)y)’ = xe^(x²)
Bước 3: Lấy nguyên hàm hai vế:
e^(x²)y = ∫xe^(x²) dx = (1/2)e^(x²) + C
Bước 4: Tìm hàm số y:
y = (1/2) + Ce^(-x²)
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: y = (1/2) + Ce^(-x²).
IV. Lời Kết
Như vậy, qua bài học này, thầy hy vọng các em đã hiểu rõ hơn về phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 cũng như cách giải chúng một cách bài bản và dễ hiểu.
Để thành thạo hơn, các em hãy thử áp dụng các bước đã học vào giải một số bài tập thầy giao nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại để lại bình luận phía dưới, thầy sẽ giải đáp cho các em. Chúc các em học tập tốt!