Các em học sinh thân mến! Chắc hẳn trong quá trình chinh phục thế giới hình học đầy thú vị, các em đã từng nghe đến biến hình. Vậy biến hình là gì? Và làm thế nào để sử dụng biến hình như một “phép thuật” giúp chúng ta chứng minh các bài toán hình học một cách đơn giản và hiệu quả hơn? Hãy cùng thầy cô tìm hiểu trong bài viết này nhé!
“Biến hình” – “Phép màu” trong thế giới hình học
Trong hình học phẳng, phép biến hình được hiểu là một phép biến đổi từ hình này sang hình khác. Nói một cách đơn giản, khi ta di chuyển một hình trên mặt phẳng mà vẫn giữ nguyên hình dạng và kích thước của nó, ta đã thực hiện một phép biến hình.
Vậy biến hình trong chứng minh hình học là gì? Đó chính là việc chúng ta sử dụng các phép biến hình để biến đổi bài toán hình học ban đầu thành một bài toán mới đơn giản hơn, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán ban đầu.
Các loại phép biến hình thường gặp trong chứng minh hình học
Có rất nhiều phép biến hình khác nhau, tuy nhiên trong chương trình Toán trung học cơ sở và trung học phổ thông, chúng ta thường gặp một số phép biến hình cơ bản sau:
- Phép tịnh tiến: Di chuyển một hình dọc theo một vectơ.
- Phép đối xứng trục: Lật một hình qua một đường thẳng (gọi là trục đối xứng).
- Phép đối xứng tâm: Quay một hình 180 độ quanh một điểm (gọi là tâm đối xứng).
- Phép quay: Quay một hình một góc quanh một điểm (gọi là tâm quay).
- Phép vị tự: Biến đổi mỗi điểm của hình thành một điểm mới sao cho tỉ số khoảng cách từ điểm mới đến tâm vị tự và khoảng cách từ điểm ban đầu đến tâm vị tự là một hằng số khác 0.
Mỗi phép biến hình đều có những tính chất đặc trưng riêng, giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.
Làm thế nào để sử dụng biến hình trong chứng minh hình học?
Để sử dụng biến hình trong chứng minh hình học, chúng ta cần thực hiện theo các bước sau:
- Nhận dạng bài toán: Đầu tiên, cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán và những dữ kiện đã cho.
- Lựa chọn phép biến hình: Dựa vào dữ kiện bài toán và kinh nghiệm của bản thân, ta lựa chọn phép biến hình phù hợp để biến đổi bài toán.
- Thực hiện phép biến hình: Áp dụng phép biến hình đã chọn lên hình vẽ, biến đổi bài toán ban đầu thành một bài toán mới đơn giản hơn.
- Chứng minh bài toán mới: Sử dụng các kiến thức hình học đã học để chứng minh bài toán mới.
- Kết luận: Từ kết quả chứng minh bài toán mới, suy ra kết luận cho bài toán ban đầu.
Ví dụ minh họa
Bài toán: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:
a) AMND là hình bình hành.
b) Ba đường thẳng AN, DM, BC đồng quy.
Chứng minh:
a) Lựa chọn phép biến hình: Sử dụng phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow{AD}$.
Thực hiện phép biến hình:
- Phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow{AD}$ biến điểm A thành điểm D, điểm M thành điểm N.
- Do đó, phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow{AD}$ biến đoạn thẳng AM thành đoạn thẳng DN.
Chứng minh bài toán mới:
- Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.
- Suy ra, DN = BC và DN // BC.
- Do đó, tứ giác DNBC là hình bình hành.
Kết luận:
- Từ đó suy ra, AMND cũng là hình bình hành (vì AMND và DNBC là hai hình bình hành có chung cạnh đối là ND).
b) Lựa chọn phép biến hình: Sử dụng phép đối xứng tâm Đ.
Thực hiện phép biến hình:
- Phép đối xứng tâm D biến điểm A thành điểm C, điểm M thành điểm N.
- Do đó, phép đối xứng tâm D biến đường thẳng AM thành đường thẳng CN.
Chứng minh bài toán mới:
- Vì DNBC là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a) nên hai đường chéo DB và CN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Mà O là trung điểm của DB (giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD).
- Suy ra, O cũng là trung điểm của CN.
Kết luận:
- Vậy ba đường thẳng AN, DM, BC đồng quy tại điểm O.
Lời kết
Như vậy, có thể thấy biến hình là một công cụ hữu hiệu giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách đơn giản và hiệu quả. Hy vọng qua bài viết này, các em đã hiểu rõ hơn về biến hình và cách sử dụng biến hình trong chứng minh hình học. Chúc các em học tập tốt và ngày càng yêu thích môn Toán!
Các em có muốn tìm hiểu thêm về những phép biến hình khác và ứng dụng của chúng trong giải toán? Hãy để lại bình luận bên dưới để thầy cô biết nhé!