Các em học sinh thân mến! Tích phân là một trong những khái niệm quan trọng và thường gặp trong đề thi đại học môn Toán. Để giúp các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi quan trọng này, thầy cô sẽ chia sẻ 15 bài tích phân hay thi đại học giúp các em chinh phục điểm 9+ dễ dàng.
I. Vì Sao Cần Nắm Vững 15 Bài Tích Phân Hay Thi Đại Học?
Tích phân không chỉ là một phần quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12 mà nó còn là kiến thức nền tảng cho các bạn muốn theo đuổi các ngành học liên quan đến kỹ thuật, kinh tế, khoa học tự nhiên,…ở bậc đại học.
Việc nắm vững 15 bài tích phân hay thi đại học sẽ giúp các em:
- Nắm vững kiến thức cơ bản về tích phân: Từ đó có thể giải quyết các bài toán tích phân từ cơ bản đến nâng cao.
- Nâng cao khả năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề: Tích phân yêu cầu sự tư duy logic và sáng tạo trong quá trình giải toán.
- Tự tin hơn khi bước vào kỳ thi đại học: Giúp các em đạt được điểm số cao trong kỳ thi THPT Quốc gia, mở ra cơ hội vào các trường đại học mơ ước.
II. 15 Bài Tích Phân Hay Thi Đại Học Được Các Giáo Viên Toán Lựa Chọn
Dưới đây là 15 dạng bài tích phân hay thi đại học được thầy cô tổng hợp và chọn lọc kỹ lưỡng. Các em hãy note lại và luyện tập thường xuyên nhé!
1. Tích phân của hàm đa thức:
Ví dụ: $int (x^3 + 2x^2 – 1) dx$
2. Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ:
Ví dụ: $int frac{x}{x^2 + 1} dx$
3. Tích phân của hàm số lượng giác:
Ví dụ: $int sin(x) dx$, $int cos^2(x) dx$
4. Tích phân của hàm số mũ và logarit:
Ví dụ: $int e^x dx$, $int ln(x) dx$
5. Tích phân từng phần:
Ví dụ: $int x.sin(x) dx$
6. Tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Ví dụ: $int frac{1}{sqrt{1-x^2}} dx$ (Đặt x = sin(t))
7. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ: $int |x| dx$
8. Tích phân tính diện tích hình phẳng:
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x^2$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
9. Tích phân tính thể tích khối tròn xoay:
Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng x = 4 quanh trục hoành.
10. Tích phân ứng dụng trong vật lý:
Ví dụ: Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5, biết vận tốc của vật được cho bởi phương trình v(t) = t^2 + 1.
11. Tích phân hàm ẩn:
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) = int_{0}^{x^2} sin(t^2) dt$
12. Tích phân suy rộng:
Ví dụ: $int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} dx$
13. Tích phân kép:
Ví dụ: Tính $iint_D (x^2 + y^2) dA$, trong đó D là hình tròn tâm O bán kính 1.
14. Tích phân bội ba:
Ví dụ: Tính thể tích khối cầu bằng tích phân bội ba.
15. Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế:
Ví dụ: Một công ty muốn thiết kế một bể chứa hình trụ có thể tích là 1000 m3. Xác định bán kính đáy và chiều cao của bể chứa để sử dụng ít vật liệu nhất.
III. Luyện Tập Giải Một Số Bài Tích Phân Hay Thi Đại Học
Bây giờ chúng ta hãy cùng nhau giải một số bài tích phân hay gặp trong đề thi đại học các năm nhé!
Bài 1: Tính tích phân: $I = int (2x + 1)^5 dx$
Lời giải:
Đặt u = 2x + 1 => du = 2dx
Ta có: $I = frac{1}{2} int u^5 du = frac{1}{12} u^6 + C = frac{1}{12} (2x + 1)^6 + C$ (C là hằng số)
Bài 2: Tính tích phân: $I = int_{0}^{1} frac{x}{x^2 + 1} dx$
Lời giải:
Đặt u = x^2 + 1 => du = 2xdx
Đổi cận:
- x = 0 => u = 1
- x = 1 => u = 2
Ta có:
$I = frac{1}{2} int{1}^{2} frac{du}{u} = frac{1}{2} ln|u| Big|{1}^{2} = frac{1}{2} (ln2 – ln1) = frac{ln2}{2}$
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x^2 – 4x + 3 và trục hoành.
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x^2 – 4x + 3 = 0 <=> (x-1)(x-3) = 0 <=> x = 1 hoặc x = 3.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = int{1}^{3} |x^2 – 4x + 3| dx = -int{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) dx = frac{4}{3}$ (đơn vị diện tích)
IV. Kết Luận
15 bài tích phân hay thi đại học mà thầy cô vừa chia sẻ là những dạng bài cơ bản và thường gặp. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc học tập và ôn luyện môn Toán, đặc biệt là phần tích phân.
Các em hãy chăm chỉ luyện tập giải các bài tập và đừng ngần ngại đặt câu hỏi cho thầy cô nếu có bất kỳ thắc mắc nào nhé. Chúc các em học tốt!